◎２次方程式（一般系：〖ax〗^2+bx+c=0）
これは中学生のうちに習っているがもう少し理論的に発展していこう。
２次方程式の解き方は以下の３通り
① 因数分解を使う
（この前に新たな因数分解公式を学んだので因数分解ができるものが増えた）
② 解の公式を使う。（これは後で詳しく説明する）
③ 平方完成を使う。
（基本的に２次方程式は①、②で解けるが高校生になったらこの方法を身につけておきたい。）
① 因数分解
Ex) 方程式x^2-5x+6=0を因数分解すると
(ｘ－２)(ｘ－３)＝０⇒ｘ－２＝０またはｘ－３＝０
すなわちｘ＝２またはｘ＝３
注意：なぜ「または」なのかは集合の分野での説明が必要となる。
② 解の公式
この証明はいろいろなやり方があるが今回は一番有名なものを紹介する。
また、証明の中に平方完成と呼ばれる変形を行うのが、
わかりにくい場合は詳しくは③を見てほしい。
Proof）〖ax〗^2+bx+c=0（a,b,cは定数かつa≠０）
両辺をaで割ると x^2+b/a x+c/a=0
左辺の式を平方完成を行うと
a〖(x+b/2a)〗^2-(b^2-4ac)/4a=0
両辺をaで割って変形すると
〖(x+b/2a)〗^2=(b^2-4ac)/(4a^2 )
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
すなわち x=(-b±√(b^2-4ac))/2a ∎
この証明は簡単なため自分でできてほしい。
証明終わりマーク
∎、//、Q.E.D（Quod Erat Demonstrandum ラテン語）などがある
※ｂが偶数のときに使える解の公式もあるがこれのみ使えればよい
③平方完成
次のような手順でやるとよい
① xを含む項だけ、x2の係数でくくる
② xの係数を半分にして、2乗を足し引きする
③ 因数分解する
④ 分配法則を用いる
⑤ 定数項を計算する
例えば、〖3x〗^2-12x+6=0を平方完成すると、
参照：http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a13m0204.html
このやり方で平方完成をするが少し時間がかかってしまう。
もう少し暗算で簡単にする方法を教えよう！！コツをつかむと速く計算できるようになる
◎解の存在範囲と個数
ここまで３通りの解の出し方を学んできたが解の公式についてじっくり見てみよう。
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
ここからは、解の公式の√の中を見ていこう。
Ⅰ）b^2-4ac≧０のとき√の中はプラスになるため異なる実数解は２つもつ
Ⅱ）b^2-4ac＝０のとき√の中は０になるため１つの実数解（重解）をもつ
Ⅲ）b^2-4ac≦０のとき√の中はマイナスになるため実数解をもたない。
注意：b^2-4acのことを判別式といいDで表す。
また、Ⅲについて実数解は持たないが虚数解はもつ。
なので答えの際√の中がマイナスになったからといって「解なし」と答えると
×を食らうか可能性があるので注意しよう
虚数とは√の中がマイナスとなる数でi^2=-1と定義されるものである。
0コメント